Fraktale Faszination, Ästhetik und angewandte Wissenschaft

Fraktale sind wieder da? Sie waren nie verschwunden!

Aber was sind Fraktale überhaupt? Mal sehen:

Sie haben etwas mit Geometrie und Natur zu tun, aber Mandelbrots Sachbuch-Klassiker ist voller mathemetischer Formeln und wissenschaftlicher Zeichnungen. Dazu einige farbenfrohe komplexe Abbildungen die von einem bekifften Künstler stammen könnten, wäre da nicht ihre detailreiche Präzision. Bilder eben, die allgemein als „Fraktale“ bekannt sind.

Abgesehen von einigen kürzlich erschienenen fraktalen Musiktiteln gibt es kaum Datenmaterial, dass auf einen baldige neuen Fraktaltrend in der Popkultur hinweist. Aber in meinen Web-Statistiken sorgt eine kleine, aber beständige Besucherzahl immer noch für ein Top Ranking eines meiner ältesten Blogbeiträge:  Fraktale – Chaostheorie, Schmetterlingseffekt und psychedelische Bilder. Ich habe mal kurz im Web recherchiert und festgestellt, dass seit Jahren kontinuierlich neue Forschungsergebnisse zu Fraktalen veröffentlicht werden, bloß ist mir das bisher nie aufgefallen. Die wissenschaftliche Theorie der Fraktale erleichtert unbemerkt unser tägliches Leben durch verbesserten WLAN-Empfang, Stadtverkehr, in der Medizin, Bilddatenkompression und Computersehvermögen.

Chaostheorie, Memetik und fraktale Philosophie

Sie bildet Schnittmengen mit Fraktalwissenschaft, Memetik und der buddistischen Weltanschauung: die Chaostheorie, auch Schmetterlingseffekt genannt, beschreibt den Effekt, dass ein ganz kleiner Auslöser oder eine Information verstärkt wird und an einem anderen Ort spürbar starke Auswirkungen auslöst, wie der sprichwörtliche Flügelschlag eines Schmetterlings zu einen Sturm auf einem anderen Kontinent beiträgt. Das ist wissenschaftlich, philosophisch, und eine Analogie, die all jenen Hoffnung spendet, die sich in dieser Welt unbedeutend und übersehen fühlen.

Genau so erzeugen einfache Formeln durch wiederholte Anwendung komplexe Formen wie die Mandelbrotmenge, auch Apfelmännchen genannt, die wiederum mikroskopisch kleine Wiederholungen ihrer selbst enthält, in die wir unendlich tief hineinzoomen können.

Fraktale Äesthetik in Kunst, Architektur und Natur

Wir müssen aber gar nicht noch länger auf Computerbildschirme starren, denn Fraktale sind auch in der Natur zu entdecken.

Fraktale und ähnliche mathematische Geometrie beeinflusste auch die Architektur und Gartengestaltung. So gibt es Gärten, deren Form von der Fibonacci-Folge und dem damit zusammenhängenden goldenen Schnitt inspiriert wurde.

Selbstähnliche repetitive Muster finden sich in Pflanzen, Tiefseeorganismen, Küstenverläufen, Wolken, aber auch in statistischen Daten. Wenn wir in Datensätzen, menschlichen Verhaltensweisen und Social Media Memetik nach fraktalen Formen suchen, entdecken wir vielleicht den nächsten Schmetterlingseffekt, der uns zu einer bahnbrechenden Entdeckung inspiriert.

Fraktale im weitesten Sinne

Sprachlich kommt das Wort fraktal vom lateinischen fractus, was gebrochen oder fragmentiert bedeutet. Im mathematischen Sinne steht der Begriff für komplexe, oft selbstähnliche Strukturen die durch fraktale Formeln beschrieben beziehungsweise erzeugt werden können. In der Popkultur wird Fraktal in weistesten und oft übertragenen Sinne verwendet. Der Suchbegriff „fractal“ zeigt in meinem digitalen Fotoalbum viele farbige Muster, Kunstwerke und Dekoration verschiedenster Art, sowie auch Schimmel und die Maserung von Holzplatten.

Bands, Musikstücke und Künstler wurden nach Fraktalen benannt, darunter mehrere erst kürzlich erschienene Techno-Tracks. Nett, aber keine bahnbrechende Innovation.

Innovation jenseits des schon gesehenen Ungesehenen

Als kreativer Webentwickler frage ich mich, wie eine fraktale Ästhetik jenseits psychedelischer Partybilder heute aussehen könnte.

Frühwerke der fraktalen Literatur stellten Formeln vor, einfarbige Skizzen, und die eine oder andere Farbtafel, oft auf die Farbpalette damaliger wissenschaftlicher Computer beschränkt. Ich erinnere mich an Computerprogramme in den Achtzigerjahren, als Computer mehrere Stunden brauchten, um ein unbewegtes Fraktalbild mit einer Auflösung von 300 x 200 Pixeln zu zeichnen. Als nerdiger Teenager habe ich manchmal morgens einen fraktalen Formel-Prompt eingetippt, bevor ich zur Schule ging, um dann nachmittags ein bislang ungesehenes kleines Kunstwerk zu entdecken. Historische Computer waren weit davon entfernt, in fraktale Abbildungen hinenzuzoomen um deren selbstähnliche Muster zu zeigen, also wurde stattdessen die Farbpalette animiert um ein interaktives Feeling zu faken. Mit fortschreitender Technik verbesserte sich auch die Ästhetik. Dank besserer Hardware und Druckverfahren kamen später schöne Bildbände, die sich mehr auf die Schönheit als den mathematischen Hintergrund von Fraktalen konzentrierten. Eine neue Welle fraktaler Darstellungen, extrem vielfarbig und kontrastreich, inspirierte psychedelische Partydekoration und wurde wiederum selbst von dieser beeinflusst.

Abbildungen fraktaler Illustrationen in alten Lehrbüchern, alle Rechte liegen bei den ursprügnlichen Autoren bzw. Herausgebern:

• Algorithmen für Chaos und Fraktale von Dietmar Herrmann (1994, ISBN 9-783893-196333)
• Die fraktale Geometie der Natur von Benoit B. Mandelbrot (1982, aktualisiert 2021, ISBN 978-1-64837-041-0)
• Ein Weg zur fraktalen Geometrie by Reinhart Behr (1995, ISBN 3-12-722410-9)
• Bausteine des Chaos: Fraktale von Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jürgens, Dietmar Saupe (1992, aktualisiert 2012, ISBN 9783642935251)

All das sind Sachbuch-Klassiker. Neuere Bücher und Publikationen finden sich weiter unten in diesem Artikel.

Nerdigkeit und bunte Klischees im Überfluss

Als Fraktalsoftware schließlich alltäglich wurde und wie die bunten Coffee Table Books nur noch Gähnen auslösten, geriet das Thema Fraktale popkulturell in Vergessenheit. Aber in meiner örtlichen Leihbücherei stehen immer noch die oben gezeigten Lehrbücher im Regal. Massenmedien berichten praktisch gar nicht mehr über fraktale Theorie und Praxis. Scheinbar haben die Menschen wichtigeres zu tun als zu entdecken, wie der Natur Sinn und Schönheit innewohnen. Fraktale Philosophie, Spiritualität, Kunst und angewandte Wissenschaft wirken weiter, bloß spricht kaum jemand darüber. Anders als damals, als Heimcomputer es den Massen ermöglichten, selbst zu visualisieren, woran Benoît Mandelbrot und Julia forschten. Oder später, als Stereogramme, auch bekannt als Schielbilder oder „das magische Auge“ dreidimensionale Kunstwerke in zweidimensional gedruckten Büchern verbreiteten. Aber vielleicht steht eine weitere Welle von Fraktalen in der Popkultur kurz bevor.

Auch jetzt können wir das Staune (wieder)entdecken, sei es mit einem Sachbuch, einer App, oder einem lehrrreichen Blogbeitrag wie der von Jörg Kantel über den seltsamen Attraktor, Mira, (2025) oder dem Python-Script zum Zeichnen eines Drachenkurve-Fraktals (2017). Hatte ich eigentlich schon erwähnt, dass Fraktale nie verschwunden waren?

Es gibt immer noch unendlich viele mögliche Abbildungen die bisher noch nie jemand gesehen hat!

• Der Useful JS Fractals Generator erscheint klassisch und nicht glatt designed oder innovativ, rendert aber sehr schnell. So lässt sich Selbstähnlichkeit in Echtzeit erleben.
• Nico’s Fractal Machine bei Science versus Magic ist ein weiter klassischer Fraktalzeichner, erweitert um Animation und moderne Renderinggeschwindigkeit.
• Zazov’s Online Mandelbrot Creator erlaubt registrierten Nutzern Eingaben jenseits der Standard-Algorithmen und -Farbpaletten.
• Jakub Rak’s Fractal Generator 2021 präsentiert künstlerische Bilder, die manchmal an Korallen und Tiefseewesen erinnern.
• GIMP hat mindestens vier verschiedene Fraktalfilters vorinstalliert: Fractal Trace (Map), Fractal Flame (Render), Fractal IFS (Render), und den Fractal Explorer (Render Filter), die aber alle nicht wirklich einfach und einsteigerfreundlich erscheinen.

Die App MandelBrowser und weitere Freemium-Onlinedienste, einschließlich KI-Prompt-basierten Fraktalbildgeneratoren, versprechen farbenfrohe Entdeckungsreisen mit jener surrealen psychedelischen Neonästhetik, die den üblichen Erwartungen entspricht.

So weit, so gut, aber wenn du so alt bist wie ich oder dich nicht für Wissenschaft oder Techno-Musikvideos interessierst, langweilt und enttäuscht dich vielleicht das Klischee, das doch mit dem Versprechen ungesehener Entdeckungen beworben wurde.

Jenseits der Klischees?

Der vorgefertigten Software lassen sich vielleicht mit ungewöhnlichen Einstellungen und weniger kontrastreichen Farben auch andere Bilder entlocken, inspiriert von Natur und Architektur, auf der Suche nach einer neuen ästhetischen Begegnung mit fraktaler Kunst. Ein erster Blick in die erwähnten Bücher und Softwareprogramme haben mich in dieser Hinsicht erstmal nicht sehr weit gebracht, wie meine Screenshot-Collagen zeigen.

Vielleicht geht es aber auch gar nicht darum, eine neue fraktale Ästhetik zu entwickeln, sondern darum, zu verstehen, warum fraktale Forschung heute relevant ist.

Angewandte fraktale Wissenschaft

Welche nennenswerten wissenschaftlichen Errungenschaften wurden hier in den letzten Jahren erreicht?

Ich habe schon einige Anwendungsgebiete genannt, wie die fraktalbasierten Antennen. Es gibt noch viel mehr:

• Fraktale Datenkompression als Alternative zu statistischer, wörterbuchbasierter, Textkompression, besser geeignet zum komprimieren bestimmter Bilder, deren komplexe Structuren mit fraktalen Formeln beschrieben und gespeichert werden. Besonders nützlich ist das für Bilder komplexer Naturfotografie organischer Formen, die nicht gut in den traditionellen Ansatz quadratischer Raster passen, unter anderem in der Geologie, Geographie und Medizin.
• Multifraktale Ansätze werden auch verwendet, um maschinelles Sehen (Computervision) zu verbessern, unter anderem mit faltenden neuronalen Netzen (Convolutional Neuronal Networks).
• Fraktale Formen werden auch verwendet, um komplexe natürliche und gesellschaftliche Prozesse in Ökosystemen, Städteplanung, Verkehr, Wetter, Medizin und Finanzwesen zu modelieren und vorauszusagen.

Ich bin kein Akademiker und habe keines der folgenden Bücher gelesen. Du vielleicht, bei entsprechendem Intellekt und Interesse. Jedenfalls zeigt die Vielfalt und Stetigkeit wissenschaftlicher Veröffentlichungen, dass bei Forschung und angewandter Wissenschaft im Bereich der Fraktale gerade viel geschiehtl

Wissenschaftliche Quellen und weiterführende Literatur

• Fractal and Fractional Analysis in Biomedical Sciences and Engineering von Andjelija Ž. Ilić (2025, ISBN 978-3-7258-4847-8)
• Fractional and Fractal Derivative Models for Anomalous Sediment Transport von Sun, HongGuangLi, ZhipengNie, Shiqian (2025, ISBN 978-3-11-134876-6)
• Optical and X-Ray Polarized Scattering for Porous Nanoparticles and Aggregates such as Combustion Soot von di Stasio, Stefano (2025, 978-1-0716-4618-2)
• Fractal Geometry in Human Geography and Planning von Cécile Tannier (2024, ISBN 978-1-394-30655-8)
• Statistics of natural images using hash fractal image compression von Kostadin Koroutchev and José R. Dorronsoro (2023, DOI:10.1145/973620.973661)
• Fractalopolis — A Fractal Concept for the Sustainable Development of Metropolitean Areas von Pierre Frankhauser (2021, in Complex Systems, Smart Territories and Mobility, ISBN 978-3-030-59301-8)
• Reconfigurable Antennas for Wireless Communication: Design Mechanism, State of the Art, Challenges, and Future Perspectives von Mingyue Zhang, Guangyu Xu, Renjing Gao (2024, International Journal of Antennas and Propagation)
• An Integrated Modeling Approach Combining Multifractal Urban Planning with a Space Syntax Perspective von Claudia van der Laag-Yamu, Akkelies Van Nes (2017, DOI:10.3390/urbansci1040037)
• Fractal Physiology and Chaos in Medicine von Bruce J. West (2011, updated 2013, ISBN: 978-981-4417-79-2)
• Fractional Derivates for Physicists and Engineers von Vladimir V. Uchaikin (2013, ISBN 978-3-642-33910-3)
• Fractal Antenna Design using Bio-inspired Computing Algorithms von Balwinder S. Dhaliwal, Suman Pattnaik, Shyam Sundar Pattnaik (2009, ISBN 9789815136357)
• Fractal Image Compression — Theory and Application von Yuval Fisher (1995, ISBN 978-1-4612-7552-7)
• Fractal Concepts in Surface Growth von Albert-László Barabási and Harry Eugene Stanley (1991, ISBN 978-0521483186)
• Fractals and Scaling in Finance: Discontinuity, Concentration, Risk von Benoît B. Mandelbrot (1997, 978-0387983639)

Unterschiedliche Bedeutungen des Begriffs „Fraktal“

Was bedeutet „fraktal“ außerdem noch und warum die Wortwahl?

• Fractal als Software ist sowohl ein Instant Messaging Client, als auch ein Framework zum kollaborativen programmieren und präsentieren von Web Design Systemen, ähnlich wie Storybook oder Histoire.
  • Das Web Development Framework verdankt seinen Namen seinem modularen, manchmal auch atomar genannten, Ansatz, Webseiten aus kleinen, wiederverwendbaren Komponenten zu komplexen Strukturen zusammenzusetzen. Das spiegelt das mathematische Fraktalkonzept , wo sich Muster auf unterschiedlichen Detailebenen wiederholen und komplexe Strukturen bilden, die die gleichen grundlegenden Elemente wiederverwenden.
  • Der Messager (auch als Gnome Matrix bekannt) hatte ursprünglich einen anderen, umstrittenen Namen, den die Entwickler durch einen positiveren ersetzen wollten. „Fractal“ wurde von Regina Bíró vorgeschlagen als mathematischer Begriff, der das modulare, skalierbare Wesen der Software wiederspiegelt, das aus einfachen Teilen verschlungene Strukturen entstehen, und als Analogie für seine offene, föderative Netzwerkkommunikation miteinander verbundener Räume und Nutzer, ähnliche wie das „Fediversum“ alternativer Social Media Gemeinschaften.
• „Fraktale“ Hardware ist unter anderem
  • der US-Amerikanische Hersteller von Gitarrenverstäkern, Fractal Systems
  • und Fractal Design, ein schwedischer Hersteller von Computerhardware.
• „Fraktale“ Kultur bezeichnet Computerspiele und viele verschiedene Musikstücke und Interpreten.
• Die Begriffsklärungsseite bei Wikipedia zum Thema Fraktale ist ein (leider nur in der englischen Version guter) Ausgangspunkt für eigene Recherchen, ebenso
• spezialisierte Suchmaschinen für wissenschaftliche Schriften
• und vielleicht deine Leihbücherei vor Ort!

Fazit

Fraktale und verwandte Themen sind für viele verschiedene Bereiche von Wissenschaft und Kultur relevant. Fraktale sind nicht nur für Wissenschaflter und Künstler eine Quelle verborgener Effekte und unerwarteter Inspiration und Einsichten. Auch als Laien können wir ihre Leichtigkeit und Schönheit genießen und aus unserem Wissen über den Schmetterlingseffekt Hoffnung und Optimismus schöpfen, denn kleines ist nicht immer unbedeutend.