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Im 20. Jahrhundert entwickelten Wissenschaftler wie Benoit Mandelbrot ein Konzept um das mathematische Phänomen der komplexen Zahlen sichtbar zu machen. Das Ergebnis ihrer Forschung ist ästhetisch ebenso faszinierend wie wissenschaftlich. Die Darstellung dieser Phänomene sind als Fraktale bekannt. Mandelbrot starb am 14. Oktober 2010 in Cambridge, Massachusetts.

Chaostheorie und Schmetterlingseffekt: Mathematik, Metaphysik und Transzendenz der Fraktale

Der philosophische Aspekt der Fraktaltheorie beschäftigt sich mit Komplexität und Unvorhersagbarkeit (Indetermination). Daher auch der Begriff Chaostheorie, oder etwas poetischer ausgedrückt, der Schmetterlingseffekt. Hierzu gibt es zwei Beispiele, die in keinen Text über Fraktale fehlen durften.

Wenn man die britische Küste vermisst, wird man eine bestimmte Länge ermitteln. Wiederholt man aber die Messung mit höherer Genauigkeit, indem man den Umfang aller Buchten und Felsvorsprünge berücksichtigt, erhält man eine sehr viel größere Länge der Küstenlinie. Man könnte also theoretisch sagen, die britische Küste sei unendlich lang. Das ist natürlich für die praktische Geographie bedeutungslos, aber mit diesem Beispiel lassen sich viele Phänomene der modernen Physik und Biologie besser verstehen.

Das zweite und noch populärere Beispiel besagt, dass der Flügelschlag einen Schmetterlings in Europa durch seine Luftbewegung und eine Kettenreaktion zunächst kleiner und immer größerer Folgen letztlich einem Sturm in China auslösen könnte. Dieses Beispiel ähnelt fernöstlichen Geschichten mit denen seit Jahrtausenden die Weisheiten von Buddhismus und Tao gelehrt werden. Nach der Lektüre populärwissenschaftlicher Artikel über die Chaostheorie haben viele Menschen begonnen, darin Bedeutungen zu suchen, die über die klassische Wissenschaft hinaus gehen. Trotz manch abwegiger Theorie wie der von in Fraktalen codierten Geheimbotschaften haben Fraktale nicht nur viele Künstler inspiriert, sondern die Chaostheorie hat durch das Schmetterlings-Beispiel auch viel zum globalen Denken und zum Bewusstsein für weltweite Ökologie beigetragen.

Fraktale von der Theorie zur Praxis

Wozu sind Fraktale also gut? Wie schon gesagt, sind sie letztlich die Visualisierung einer mathematischen Theorie. Die entstandenen Bilder kommen aber auch in Grafik-Software zur Erzeugung von Mustern und Hintergründen zum Einsatz, unter anderem bei Kai’s Power Tools und diversen Plugins für Photoshop. In großformatigen Bildbänden werden Fraktale allein wegen ihrer Ästhetik und Schönheit präsentiert.

Fraktale Formeln werden außerdem zur Simulation von Landschaften eingesetzt, und um natürlich aussehende Darstellungen von organischen Elementen zu erreichen, beispielsweise Berge, Pflanzen, Feuer und Haare. Bryce ist ein Landschaftsgenerator, der schon früh auf dem PC nutzbar war. Klassische C64-Computerspiele wie Rescue on Fractalus muten heutzutage nostalgisch an, sind aber erste Beispiele fraktaler Landschaften die nicht von Fotos oder der Hand eines Zeichners sondern aus der mathematischen Simulation entstehen.

In den 1980er Jahren konnte die Berechnung eines 320 x 200 Bildpunkte großen Fraktals auf dem Commodore 64 schon mal mehrere Stunden dauern. Fraktal-Software war rar und wurde teilweise sogar aus Büchern abgetippt! Die damals fortschrittlicheren Computern wie Amiga, Atari ST oder Apple Macintosh machten schnellere Fraktalberechnung, 3D-Grafik und Raytracing (realistische Beleuchtungs- und Spiegel-Effekte) auch für Normalverbraucher erschwinglich, aber man brauchte noch High-End Workstations um hochauflösende animierte Computergrafiken wie die berühmten Trickfilme von Pixar zu berechnen, eine der Firmen von Apple-Gründer Steve Jobs, die inzwischen zum Disney-Konzern gehört. Heutzutage spielt die fraktale Landschaftsberechnung bei der Produktion von Action- und Fantasy-Filmen eine bedeutende Rolle.
Apfelmännchen und Julia-Mengen

Fractum bedeutet im Lateinischen ein Teil, im Gegensatz zu totum, dem ganzen. Wörtlich würde fraktal demnach das Gegenteil von total sein. Üblicherweise bezeichnet man als Fraktal die grafischen Darstellungen die durch die Anwendung der Fraktaltheorie ermöglicht wurden.

Im Deutschen gibt es außerdem noch das Wort Apfelmännchen für eine Darstellung der Mandelbrot-Menge, die entfernt an einen Apfel erinnert. Diese Mengen sind Varianten der so genannten Julia-Mengen und wurden erst 1979 von Benoit Mandelbrot entdeckt. Die Iterationsformel der Julia-Mengen (z -> z² + c) wird dazu derartig verändert, dass der Startpunkt z0 grundsätzlich der Ursprung 0 der komplexen Zahlenebene C ist. Da sich so etwas aber nur Mathematiker merken können, ist das Objekt unter seinem poetischeren Namen „Apfelmännchen“ bekannt geworden und wurde in farbenprächtigen Varianten in Zeitschriften und Bildbänden abgedruckt.

Interview mit Benoît Mandelbrot

Weitere Videos über Fraktale, Chaostheorie und den Schmetterlingseffekt (Youtube-Playlist)

Fraktale Software, Selbstähnlichkeit und animierte Fraktalgrafiken

Fraktal-Software wie Fractint oder Iterations machten es auch Anwendern ohne theoretischen Hintergrund möglich, den Anblick von Bildern zu genießen, die noch nie ein anderer Mensch zuvor gesehen hatte – einfach indem man neue Werte in vorgegebenen Formeln änderte. Vergrößerung des fraktalen Bildes durch Neuberechnung ist bis zur Unendlichkeit möglich, es entstehen immer wieder neue Details und Strukturen, die dabei die gleiche oder ähnliche Form des ursprünglichen Fraktals wiederholen. Diese auch ästhetisch faszinierende Eigenschaft, die Selbstähnlichkeit, ist auch an gewachsenen Strukturen wie Bäumen oder Korallen zu beobachten. In der Geometrie der Fraktale ist die Selbstähnlichkeit in perfekter, also abstrakter und nicht durch Umwelteinflüsse überformter Weise zu beobachten. Durch einfache Zoom-Effekte und Farb-Animationen wird aus computerberechneten Fraktalen im besten Falle ein psychedelisches Schauspiel ähnlich wie bei CTHUGHA und anderer so genannter Mind Machine Software. Hochauflösende Bilder besonders schöner Fraktale wurden in Bildbänden wie „The Beauty of Fractals“ veröffentlicht.